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Comment Calculer La Norme D Un Vecteur

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment dΓ©terminer la norme d'un vecteur en deux dimensions.

La valeur absolue d'united nations nombre rΓ©el nous indique sa taille, ou, la distance qui le sΓ©pare de zΓ©ro sur la droite des rΓ©els. La norme d'un vecteur est l'analogue de la valeur absolue pour les vecteurs;ainsi, la note de la norme dΓ©rive de celle de la valeur absolue.

DΓ©finition : Norme d'un vecteur

La norme du vecteur ⃑ 𝑣 , notΓ©e β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– , est la longueur du vecteur ou la distance entre ses extrΓ©mitΓ©s.

En particulier, un vecteur unitaire est un vecteur de norme Γ©gale Γ  i. Nous rappelons les deux vecteurs unitaires de base en deux dimensions ⃑ 𝑖 = ( ane , 0 ) , ⃑ 𝑗 = ( 0 , 1 ) .

Ces vecteurs unitaires ont une norme de 1, car, si on mesure leurs longueurs dans le plan, elles sont Γ©gales Γ  i unitΓ©.

Un autre cas particulier est un vecteur dont la norme est Γ©gale Γ  zΓ©ro. Il y a seulement united nations vecteur dont la longueur est Γ©gale Γ  zΓ©ro, et nous appelons ce vecteur le vecteur nul: ⃑ 0 = ( 0 , 0 ) .

CommenΓ§ons par Γ©tudier un exemple simple de norme de vecteur.

Exemple 1: La norme d'un vecteur vertical

Le vecteur ⃑ 𝑣 est reprΓ©sentΓ© sur la grille ci-dessous. DΓ©terminez la valeur de β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– .

RΓ©ponse

Rappelons que la notation β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– reprΓ©sente la norme du vecteur, qui reprΓ©sente sa longueur. Sur la figure, nous pouvons voir que le vecteur donnΓ© ⃑ 𝑣 couvre deux longueurs de grille verticales. Comme la grille est constituΓ©e de carrΓ©s unitaires, un cΓ΄tΓ© de carrΓ© a une longueur de one unitΓ©. Cela nous indique que la longueur de ⃑ 𝑣 est Γ©gale Γ  2.

Dans la mesure oΓΉ le vecteur ⃑ 𝑣 pointe vers le bas, il peut Γͺtre tentant de se dire que le signe de la norme est nΓ©gatif. Cependant, il faut se rappeler qu'une longueur, donc la norme, ne peut pas Γͺtre nΓ©gative. Ainsi, β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– = ii .

Dans le premier exemple, nous avons trouvé la norme d'un vecteur vertical à partir de sa représentation. La norme d'un vecteur vertical ou horizontal est simple à déterminer à partir de sa représentation graphique. Si united nations vecteur n'est ni vertical ni horizontal, nous pouvons déterminer sa norme en appliquant le théorème de Pythagore, comme nous le verrons dans fifty'exemple suivant.

Exemple 2: La norme d'united nations vecteur

Le vecteur ⃑ 𝑣 est reprΓ©sentΓ© sur la grille ci-dessous. DΓ©terminez la valeur de β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– .

RΓ©ponse

Rappelons que la annotation β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– reprΓ©sente la norme du vecteur, qui est la longueur du vecteur. On peut voir que le vecteur ⃑ 𝑣 reprΓ©sente la diagonale d'un rectangle constituΓ© de plusieurs carrΓ©s. On peut donc onetime un triangle rectangle tel que le vecteur en reprΓ©sente l'hypotΓ©nuse. Comme la grille est constituΓ©e de carrΓ©s unitaires, de cotΓ©s 1 unitΓ© de longueur, les longueurs des deux cΓ΄tΓ©s du triangle rectangle ont les valeurs indiquΓ©es ci-dessous.

Appliquons le thΓ©orΓ¨me de Pythagore pour dΓ©terminer la longueur de fifty'hypotΓ©nuse qui sera la norme du vecteur ⃑ 𝑣 . Les longueurs des deux cΓ΄tΓ©s du triangle rectangle, hors hypotΓ©nuse, sont iii et 4, et la longueur de fifty'hypotΓ©nuse est Γ©gale Γ  la norme β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– . Par consΓ©quent, 3 + 4 = β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– .   

Cela signifie que β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– = two 5 . 

En prenant la racine carrΓ©e des deux cΓ΄tΓ©s de l'Γ©quation on obtient β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– = Β± 5 . Comme la norme β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– reprΓ©sente une longueur, elle ne peut pas Γͺtre nΓ©gative, on peut donc ignorer la solution nΓ©gative. Ainsi, β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– = v .

Dans l'exemple prΓ©cΓ©dent, nous avons calculΓ© la norme d'un vecteur en appliquant le thΓ©orΓ¨me de Pythagore. Nous pouvons utiliser la mΓͺme mΓ©thode cascade dΓ©terminer la norme de tout vecteur en deux dimensions, Γ  condition qu'il ne soit ni vertical ni horizontal.

Soit un vecteur ⃑ 𝑣 = ( π‘Ž , 𝑏 ) , avec π‘Ž et 𝑏 non nuls. Comme dans l'exemple prΓ©cΓ©dent, nous pouvons tracer united nations triangle rectangle dans lequel la norme du vecteur reprΓ©sente la longueur de l'hypotΓ©nuse.

Ainsi, fifty'application du thΓ©orΓ¨me de Pythagore nous dit que π‘Ž + 𝑏 = β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– .   

En prenant la racine des deux cΓ΄tΓ©s de l'Γ©quation et en ignorant la solution nΓ©gative on obtient la formule suivante.

DΓ©finition : Norme d'un vecteur en deux dimensions

Soit ⃑ 𝑣 = ( π‘Ž , 𝑏 ) united nations vecteur en deux dimensions. La norme de ce vecteur est β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– = √ π‘Ž + 𝑏 .  

MΓͺme si nous n'avons montrΓ© cette formule que dans le cas de vecteurs situΓ©s dans le premier quadrant, la formule reste valable pour tout vecteur du plan. En effet, on peut voir que si le vecteur ⃑ 𝑣 = ( π‘Ž , 𝑏 ) se situe dans le troisiΓ¨me quadrant, comme sur la figure ci-dessous:

Sur la figure, que les longueurs des deux cΓ΄tΓ©s du triangle rectangle, hors hypotΓ©nuse, ont pour valeurs | π‘Ž | et | 𝑏 | . En appliquant le thΓ©orΓ¨me de Pythagore et en prenant la racine carrΓ©e on obtient β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– =  | π‘Ž | + | 𝑏 | .  

Or, nous savons que pour tout nombre rΓ©el π‘Ž , | π‘Ž | = π‘Ž   . Cela signifie que la formule de la norme de ce vecteur reste conforme Γ  celle donnΓ©e ci-dessus cascade tous les vecteurs du plan.

On peut Γ©galement vΓ©rifier cette formule pour les vecteurs verticaux et horizontaux qui ont cascade coordonnΓ©es ( π‘Ž , 0 ) ou ( 0 , 𝑏 ) . Dans ce cas, comme nous l'avons vu dans le premier exemple, c'est la valeur de la coordonnΓ©e en π‘₯ , ou en 𝑦 , qui dΓ©termine la norme du vecteur. Cela signifie que les normes de ces vecteurs sont | π‘Ž | ou | 𝑏 | . Γ‰tant donnΓ© que la coordonnΓ©e en 𝑦 , ou en π‘₯ , de ces vecteurs est zΓ©ro, ceci est Γ  nouveau conforme Γ  la formule de la norme donnΓ©e ci-dessus.

Dans fifty'exemple suivant, nous appliquerons cette formule pour dΓ©terminer la norme d'un vecteur Γ  partir de ses coordonnΓ©es.

Exemple 3: La norme d'un vecteur

Quelle est la norme du vecteur ( βˆ’ four ; 5 ) ?

RΓ©ponse

Dans cet exemple, nous devons dΓ©terminer la norme d'un vecteur dont on connait les coordonnΓ©es. Rappelons que la norme du vecteur ⃑ 𝑣 = ( π‘Ž , 𝑏 ) est β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– = √ π‘Ž + 𝑏 .  

Le vecteur est ( βˆ’ 4 ; 5 ) , ainsi il suffit de substituer π‘Ž = βˆ’ 4 et 𝑏 = 5 dans la formule pour obtenir β€– ( βˆ’ 4 , 5 ) β€– =  ( βˆ’ four ) + five = √ i six + 2 5 = √ 4 1 .  

Par conséquent, la norme du vecteur est √ four 1 .

Dans l'exemple prΓ©cΓ©dent, nous avons calculΓ© la norme d'un vecteur Γ  partir de ses coordonnΓ©es et de la formule de la norme. Rappelons que tout vecteur du plan peut Γͺtre exprimΓ© en fonction des vecteurs unitaires de base ⃑ 𝑖 et ⃑ 𝑗 sous la forme ( π‘Ž , 𝑏 ) = π‘Ž ⃑ 𝑖 + 𝑏 ⃑ 𝑗 .

Cela signifie que nous pouvons appliquer la mΓͺme formule cascade calculer la norme du vecteur exprimΓ©e dans la base constituΓ©e des deux vecteurs unitaires: β€– β€– π‘Ž ⃑ 𝑖 + 𝑏 ⃑ 𝑗 β€– β€– = √ π‘Ž + 𝑏 .  

Dans l'exemple suivant, nous dΓ©terminerons la norme d'un vecteur exprimΓ© dans la base orthonormΓ©e constituΓ©e des deux vecteurs unitaires de rΓ©fΓ©rence.

Exemple 4: DΓ©terminer la norme d'un vecteur donnΓ©

Soit ⃑ 𝐴 = βˆ’ v ⃑ 𝑖 βˆ’ 3 ⃑ 𝑗 , oΓΉ ⃑ 𝑖 et ⃑ 𝑗 sont des vecteurs unitaires orthogonaux, dΓ©terminez β€– β€– ⃑ 𝐴 β€– β€– .

RΓ©ponse

Dans cet exemple, nous devons dΓ©terminer la norme β€– β€– ⃑ 𝐴 β€– β€– du vecteur exprimΓ© dans la base orthonormΓ©e. Rappelons que si ⃑ 𝑣 = π‘Ž ⃑ 𝑖 + 𝑏 ⃑ 𝑗 , sa norme est β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– = √ π‘Ž + 𝑏 .  

Sachant que ⃑ 𝐴 = βˆ’ v ⃑ 𝑖 βˆ’ iii ⃑ 𝑗 , en substituant π‘Ž = βˆ’ 5 et 𝑏 = βˆ’ 3 ci-dessus , on obtient β€– β€– ⃑ 𝐴 β€– β€– =  ( βˆ’ 5 ) + ( βˆ’ three ) = √ 2 5 + ix = √ 3 4 .  

Par consΓ©quent, β€– β€– ⃑ 𝐴 β€– β€– = √ iii 4 .

Jusqu'Γ  prΓ©sent, nous avons vu comment calculer la norme d'un vecteur qui est exprimΓ© dans la base of operations orthonormΓ©e ou dont on connait les coordonnΓ©es. Une autre faΓ§on de dΓ©finir un vecteur est de donner ses deux extrΓ©mitΓ©s. Rappelons qu'un vecteur commenΓ§ant par le signal 𝐴 et se terminant par le point 𝐡 est notΓ© οƒ  𝐴 𝐡 . Si on a les coordonnΓ©es des points 𝐴 = ( π‘₯ ; 𝑦 )   et 𝐡 = ( π‘₯ ; 𝑦 )   , alors ce vecteur a pour coordonnΓ©es οƒ  𝐴 𝐡 = ( π‘₯ βˆ’ π‘₯ , 𝑦 βˆ’ 𝑦 ) .    

Si nous appliquons la formule de la norme Γ  ce vecteur, nous obtenons β€– β€– οƒ  𝐴 𝐡 β€– β€– =  ( π‘₯ βˆ’ π‘₯ ) + ( 𝑦 βˆ’ 𝑦 ) .      

Dans le prochain exemple, nous allons calculer la norme d'united nations vecteur identifiΓ© par ses extrΓ©mitΓ©s.

Exemple 5: La norme d'un vecteur

Quelle est la norme du vecteur οƒ  𝐴 𝐡 , avec 𝐴 = ( five ; βˆ’ 9 ) et 𝐡 = ( 9 ; i ) ?

RΓ©ponse

Dans cet exemple, nous devons calculer la norme d'un vecteur identifiΓ© par ses extrΓ©mitΓ©s. Rappelons que le vecteur allant du indicate 𝐴 ( π‘₯ ; 𝑦 )   au point 𝐡 ( π‘₯ ; 𝑦 )   est dΓ©fini par οƒ  𝐴 𝐡 = ( π‘₯ βˆ’ π‘₯ , 𝑦 βˆ’ 𝑦 ) .    

On a les coordonnΓ©es de 𝐴 et 𝐡 , soit π‘₯ = 5 , 𝑦 = βˆ’ 9 , π‘₯ = 9 , 𝑦 = ane .    

En substituant ces valeurs, dans les coordonnΓ©es du vecteur, on obtient οƒ  𝐴 𝐡 = ( nine βˆ’ 5 , one βˆ’ ( βˆ’ ix ) ) = ( 4 , one 0 ) .

Maintenant, nous devons calculer la norme de ce vecteur. Rappelons que la norme du vecteur ⃑ 𝑣 = ( π‘Ž , 𝑏 ) est β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– = √ π‘Ž + 𝑏 .  

Comme notre vecteur est ( 4 ; i 0 ) , on peut substituer π‘Ž = 4 et 𝑏 = ane 0 dans cette formule pour obtenir β€– ( 4 , one 0 ) β€– = √ 4 + 1 0 = √ i 6 + one 0 0 = √ 1 1 six = 2 √ ii nine .  

Par consΓ©quent, la norme de οƒ  𝐴 𝐡 est 2 √ 2 9 .

Dans notre dernier exemple, nous allons dΓ©terminer une constante inconnue en utilisant la norme.

Exemple 6: DΓ©terminer une constante inconnue en utilisant la norme d'un vecteur

Si 𝐴 = ( iii ; 4 ) , 𝐡 = ( βˆ’ 2 ; π‘š ) , et β€– β€– οƒ  𝐴 𝐡 β€– β€– = 5 unitΓ©s de longueur, alors, π‘š =

RΓ©ponse

Dans cet exemple, nous devons dΓ©terminer une inconnue connaissant la norme d'un vecteur. CommenΓ§ons par dΓ©terminer les coordonnΓ©es du vecteur οƒ  𝐴 𝐡 , identifiΓ© par ses extrΓ©mitΓ©s. Rappelons qu'un vecteur allant du point 𝐴 ( π‘₯ ; 𝑦 )   au point 𝐡 ( π‘₯ ; 𝑦 )   est dΓ©fini par οƒ  𝐴 𝐡 = ( π‘₯ βˆ’ π‘₯ , 𝑦 βˆ’ 𝑦 ) .    

Γ€ partir des coordonnΓ©es de 𝐴 et 𝐡 , on a π‘₯ = 3 , 𝑦 = 4 , π‘₯ = βˆ’ 2 , 𝑦 = π‘š .    

En substituant ces valeurs, on obtient οƒ  𝐴 𝐡 = ( βˆ’ ii βˆ’ three , π‘š βˆ’ four ) = ( βˆ’ 5 , π‘š βˆ’ 4 ) .

Maintenant, calculons la norme de ce vecteur. Rappelons que la norme du vecteur ⃑ 𝑣 = ( π‘Ž , 𝑏 ) est β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– = √ π‘Ž + 𝑏 .  

Comme notre vecteur a pour coordonnΓ©es ( βˆ’ five , π‘š βˆ’ 4 ) , on peut substituer π‘Ž = βˆ’ 5 et 𝑏 = π‘š βˆ’ 4 dans la formule pour obtenir β€– β€– οƒ  𝐴 𝐡 β€– β€– =  ( βˆ’ v ) + ( π‘š βˆ’ 4 ) .  

On sait que cette norme est Γ©gale Γ  5 unitΓ©s de longueur. Par consΓ©quent,  ( βˆ’ 5 ) + ( π‘š βˆ’ four ) = 5 .  

En Γ©levant au carrΓ© des deux cΓ΄tΓ©s de l'Γ©quation et en simplifiant, on obtient, ( βˆ’ five ) + ( π‘š βˆ’ 4 ) = v 2 v + ( π‘š βˆ’ four ) = 2 five ( π‘š βˆ’ 4 ) = 0 π‘š βˆ’ four = 0 π‘š = 4 .     

Par consΓ©quent, π‘š = four .

Terminons par rΓ©sumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points ClΓ©s

  • La norme du vecteur ⃑ 𝑣 , notΓ©e β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– , est la longueur du vecteur ou la altitude entre les deux extrΓ©mitΓ©s du vecteur.
  • United nations vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est Γ©gale Γ  1. Le vecteur nul est le vecteur dont la norme est Γ©gale Γ  0.
  • Soit ⃑ 𝑣 = ( π‘Ž , 𝑏 ) un vecteur du programme. La norme de ce vecteur est β€– β€– ⃑ 𝑣 β€– β€– = √ π‘Ž + 𝑏 .  
  • Si 𝐴 = ( π‘₯ ; 𝑦 )   et 𝐡 = ( π‘₯ ; 𝑦 )   , β€– β€– οƒ  𝐴 𝐡 β€– β€– =  ( π‘₯ βˆ’ π‘₯ ) + ( 𝑦 βˆ’ 𝑦 ) .      

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Source: https://www.nagwa.com/fr/explainers/832168121795/

Posted by: lopezhithatides88.blogspot.com

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